0013算法笔记——【动态规划】最大子段和问题，最大子矩阵和问题，最大m子段和问题



0013算法笔记——【动态规划】最大子段和问题，最大子矩阵和问题，最大m子段和问题.

1、最大子段和问题

     问题定义：对于给定序列a1,a2,a3……an,寻找它的某个连续子段，使得其和最大。如( -2,11,-4,13,-5,-2 )最大子段是{ 11,-4,13 }其和为20。

(1)枚举法求解

枚举法思路如下：

以a[0]开始: {a[0]}, {a[0],a[1]},{a[0],a[1],a[2]}……{a[0],a[1],……a[n]}共n个

以a[1]开始: {a[1]}, {a[1],a[2]},{a[1],a[2],a[3]}……{a[1],a[2],……a[n]}共n-1个

……

以a[n]开始:{a[n]}共1个

一共(n+1)*n/2个连续子段，使用枚举，那么应该可以得到以下算法：
具体代码如下：

  1. //3d4-1 最大子段和问题的简单算法
  2. #include ”stdafx.h”
  3. #include <iostream>
  4. using namespace std;
  6. int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj);
  8. int main()
  9. {
  10.     int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};
  12.     for(int i=0; i<6; i++)
  13.     {
  14.         cout<<a[i]<<” ”;
  15.     }
  17.     int besti,bestj;
  19.     cout<<endl;
  20.     cout<<”数组a的最大连续子段和为：a["<<besti<<":"<<bestj<<"]:”<<MaxSum(6,a,besti,bestj)<<endl;
  22.     return 0;
  23. }
  25. int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj)
  26. {
  27.     int sum = 0;
  28.     for(int i=0; i<n; i++)//控制求和起始项
  29.     {
  30.         for(int j=i; j<n; j++)//控制求和结束项
  31.         {
  32.             int thissum = 0;
  33.             for(int k=i; k<=j; k++)//求和
  34.             {
  35.                 thissum += a[k];
  36.             }
  38.             if(thissum>sum)//求最大子段和
  39.             {
  40.                 sum = thissum;
  41.                 besti = i;
  42.                 bestj = j;
  43.             }
  44.         }
  45.     }
  46.     return sum;
  47. }

从这个算法的三个for循环可以看出，它所需要的计算时间是O(n^3)。事实上，如果注意到，则可将算法中的最后一个for循环省去，避免重复计算，从而使算法得以改进。改进后的代码如下：

 

  1. //3d4-2 最大子段和问题的避免重复的简单算法
  2. #include ”stdafx.h”
  3. #include <iostream>
  4. using namespace std;
  6. int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj);
  8. int main()
  9. {
  10.     int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};
  12.     for(int i=0; i<6; i++)
  13.     {
  14.         cout<<a[i]<<” ”;
  15.     }
  17.     int besti,bestj;
  19.     cout<<endl;
  20.     cout<<”数组a的最大连续子段和为：a["<<besti<<":"<<bestj<<"]:”<<MaxSum(6,a,besti,bestj)<<endl;
  22.     return 0;
  23. }
  25. int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj)
  26. {
  27.     int sum = 0;
  28.     for(int i=0; i<n; i++)//控制求和起始项
  29.     {
  30.         int thissum = 0;
  31.         for(int j=i; j<=n; j++)//控制求和结束项
  32.         {
  33.             thissum += a[j];//求和
  34.             if(thissum>sum)
  35.             {
  36.                 sum = thissum;
  37.                 besti = i;
  38.                 bestj = j;
  39.             }
  41.         }
  42.     }
  43.     return sum;
  44. }

(2)分治法求解

分治法思路如下：

将序列a[1:n]分成长度相等的两段a[1:n/2]和a[n/2+1:n],分别求出这两段的最大字段和，则a[1:n]的最大子段和有三中情形：

[1]、a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同；

[2]、a[1:n]的最大子段和与a[n/2+1:n]的最大子段和相同；

[3]、a[1:n]的最大字段和为，且1<=i<=n/2,n/2+1<=j<=n。

可用递归方法求得情形[1],[2]。对于情形[3],可以看出a[n/2]与a[n/2+1]在最优子序列中。因此可以在a[1:n/2]中计算出，并在a[n/2+1:n]中计算出。则s1+s2即为出现情形[3]时的最优值。

具体代码如下：

  1. //3d4-1 最大子段和问题的分治算法
  2. #include ”stdafx.h”
  3. #include <iostream>
  4. using namespace std;
  6. int MaxSubSum(int *a,int left,int right);
  7. int MaxSum(int n,int *a);
  9. int main()
  10. {
  11.     int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};
  13.     for(int i=0; i<6; i++)
  14.     {
  15.         cout<<a[i]<<” ”;
  16.     }
  18.     cout<<endl;
  19.     cout<<”数组a的最大连续子段和为:”<<MaxSum(6,a)<<endl;
  21.     return 0;
  22. }
  24. int MaxSubSum(int *a,int left,int right)
  25. {
  26.     int sum = 0;
  27.     if(left == right)
  28.     {
  29.         sum = a[left]>0?a[left]:0;
  30.     }
  31.     else
  32.     {
  33.         int center = (left+right)/2;
  34.         int leftsum = MaxSubSum(a,left,center);
  35.         int rightsum = MaxSubSum(a,center+1,right);
  37.         int s1 = 0;
  38.         int lefts = 0;
  39.         for(int i=center; i>=left;i–)
  40.         {
  41.             lefts += a[i];
  42.             if(lefts>s1)
  43.             {
  44.                 s1=lefts;
  45.             }
  46.         }
  48.         int s2 = 0;
  49.         int rights = 0;
  50.         for(int i=center+1; i<=right;i++)
  51.         {
  52.             rights += a[i];
  53.             if(rights>s2)
  54.             {
  55.                 s2=rights;
  56.             }
  57.         }
  58.         sum = s1+s2;
  59.         if(sum<leftsum)
  60.         {
  61.             sum = leftsum;
  62.         }
  63.         if(sum<rightsum)
  64.         {
  65.             sum = rightsum;
  66.         }
  68.     }
  69.     return sum;
  70. }
  72. int MaxSum(int n,int *a)
  73. {
  74.     return MaxSubSum(a,0,n-1);
  75. }

算法所需的计算时间T(n)满足一下递归式：

解此递归方程可知：T(n)=O(nlogn)。

(3)动态规划算法求解


算法思路如下：

记，则所求的最大子段和为：

由b[j]的定义知，当b[j-1]>0时，b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。由此可得b[j]的动态规划递推式如下：

b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},1<=j<=n。

具体代码如下：

  1. //3d4-1 最大子段和问题的动态规划算法
  2. #include ”stdafx.h”
  3. #include <iostream>
  4. using namespace std;
  6. int MaxSum(int n,int *a);
  8. int main()
  9. {
  10.     int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};
  12.     for(int i=0; i<6; i++)
  13.     {
  14.         cout<<a[i]<<” ”;
  15.     }
  17.     cout<<endl;
  18.     cout<<”数组a的最大连续子段和为:”<<MaxSum(6,a)<<endl;
  20.     return 0;
  21. }
  23. int MaxSum(int n,int *a)
  24. {
  25.     int sum=0,b=0;
  26.     for(int i=1; i<=n; i++)
  27.     {
  28.         if(b>0)
  29.         {
  30.             b+=a[i];
  31.         }
  32.         else
  33.         {
  34.             b=a[i];
  35.         }
  36.         if(b>sum)
  37.         {
  38.             sum = b;
  39.         }
  40.     }
  41.     return sum;
  42. }

上述算法的时间复杂度和空间复杂度均为O(n)。

     2、最大子矩阵和问题
(1)问题描述：给定一个m行n列的整数矩阵A，试求A的一个子矩阵，时期各元素之和为最大。

(2)问题分析：

用二维数组a[1:m][1:n]表示给定的m行n列的整数矩阵。子数组a[i1:i2][j1:j2]表示左上角和右下角行列坐标分别为(i1,j1)和(i2,j2)的子矩阵，其各元素之和记为：

最大子矩阵问题的最优值为。如果用直接枚举的方法解最大子矩阵和问题，需要O(m^2n^2)时间。注意到，式中，，设，则

容易看出，这正是一维情形的最大子段和问题。因此，借助最大子段和问题的动态规划算法MaxSum，可设计出最大子矩阵和动态规划算法如下:

 

  1. //3d4-5 最大子矩阵之和问题
  2. #include ”stdafx.h”
  3. #include <iostream>
  4. using namespace std;
  6. const int M=4;
  7. const int N=3;
  9. int MaxSum(int n,int *a);
  10. int MaxSum2(int m,int n,int a[M][N]);
  12. int main()
  13. {
  14.     int a[][N] = {{4,-2,9},{-1,3,8},{-6,7,6},{0,9,-5}};
  16.     for(int i=0; i<M; i++)
  17.     {
  18.         for(int j=0; j<N; j++)
  19.         {
  20.             cout<<a[i][j]<<” ”;
  21.         }
  22.         cout<<endl;
  23.     }
  25.     cout<<endl;
  26.     cout<<”数组a的最大连续子段和为:”<<MaxSum2(M,N,a)<<endl;
  28.     return 0;
  29. }
  31. int MaxSum2(int m,int n,int a[M][N])
  32. {
  33.     int sum = 0;
  34.     int *b = new int[n+1];
  35.     for(int i=0; i<m; i++)//枚举行
  36.     {
  37.         for(int k=0; k<n;k++)
  38.         {
  39.             b[k]=0;
  40.         }
  42.         for(int j=i;j<m;j++)//枚举初始行i,结束行j
  43.         {
  44.             for(int k=0; k<n; k++)
  45.             {
  46.                 b[k] += a[j][k];//b[k]为纵向列之和
  47.                 int max = MaxSum(n,b);
  48.                 if(max>sum)
  49.                 {
  50.                     sum = max;
  51.                 }
  52.             }
  53.         }
  54.     }
  55.     return sum;
  56. }
  58. int MaxSum(int n,int *a)
  59. {
  60.     int sum=0,b=0;
  61.     for(int i=1; i<=n; i++)
  62.     {
  63.         if(b>0)
  64.         {
  65.             b+=a[i];
  66.         }
  67.         else
  68.         {
  69.             b=a[i];
  70.         }
  71.         if(b>sum)
  72.         {
  73.             sum = b;
  74.         }
  75.     }
  76.     return sum;
  77. }

以上代码MaxSum2方法的执行过程可用下图表示：

 

 

 


3、最大m子段和问题

(1)问题描述：给定由n个整数(可能为负数)组成的序列a1,a2,a3……an,以及一个正整数m,要求确定此序列的m个不相交子段的总和达到最大。最大子段和问题是最大m字段和问题当m=1时的特殊情形。

(2)问题分析：设b(i,j)表示数组a的前j项中i个子段和的最大值，且第i个子段含a[j](1<=i<=m,i<=j<=n),则所求的最优值显然为。与最大子段问题相似，计算b(i,j)的递归式为：

其中，表示第i个子段含a[j-1],而项表示第i个子段仅含a[j]。初始时，b(0,j)=0,(1<=j<=n);b(i,0)=0,(1<=i<=m)。

具体代码如下：

  1. //3d4-6 最大m子段问题
  2. #include ”stdafx.h”
  3. #include <iostream>
  4. using namespace std;
  6. int MaxSum(int m,int n,int *a);
  8. int main()
  9. {
  10.     int a[] = {0,2,3,-7,6,4,-5};//数组脚标从1开始
  11.     for(int i=1; i<=6; i++)
  12.     {
  13.         cout<<a[i]<<” ”;
  14.     }
  16.     cout<<endl;
  17.     cout<<”数组a的最大连续子段和为:”<<MaxSum(3,6,a)<<endl;
  18.     }
  20. int MaxSum(int m,int n,int *a)
  21. {
  22.     if(n<m || m<1)
  23.         return 0;
  24.     int **b = new int *[m+1];
  26.     for(int i=0; i<=m; i++)
  27.     {
  28.         b[i] = new int[n+1];
  29.     }
  31.     for(int i=0; i<=m; i++)
  32.     {
  33.         b[i][0] = 0;
  34.     }
  36.     for(int j=1;j<=n; j++)
  37.     {
  38.         b[0][j] = 0;
  39.     }
  41.     //枚举子段数目，从1开始，迭代到m，递推出b[i][j]的值
  42.     for(int i=1; i<=m; i++)
  43.     {
  44.         //n-m+i限制避免多余运算，当i=m时，j最大为n，可据此递推所有情形
  45.         for(int j=i; j<=n-m+i; j++)
  46.         {
  47.             if(j>i)
  48.             {
  49.                 b[i][j] = b[i][j-1] + a[j];//代表a[j]同a[j-1]一起，都在最后一子段中
  50.                 for(int k=i-1; k<j; k++)
  51.                 {
  52.                     if(b[i][j]<b[i-1][k]+a[j])
  53.                         b[i][j] = b[i-1][k]+a[j];//代表最后一子段仅包含a[j]
  54.                 }
  55.             }
  56.             else
  57.             {
  58.                 b[i][j] = b[i-1][j-1]+a[j];//当i=j时，每一项为一子段
  59.             }
  60.         }
  61.     }
  62.     int sum = 0;
  63.     for(int j=m; j<=n; j++)
  64.     {
  65.         if(sum<b[m][j])
  66.         {
  67.             sum = b[m][j];
  68.         }
  69.     }
  70.     return sum;
  71. }

上述算法的时间复杂度为O(mn^2)，空间复杂度为O(mn)。其实，上述算法中，计算b[i][j]时，只用到了数组b的第i-1行和第i行的值。因而，算法中只要存储数组b的当前行，不必存储整个数组。另一方面，的值可以在计算i-1行时预先计算并保存起来。计算第i行的值时不必重新计算，节省了计算时间和空间。因此，算法可继续改进如下：

  1. //3d4-7 最大m子段问题
  2. #include ”stdafx.h”
  3. #include <iostream>
  4. using namespace std;
  6. int MaxSum(int m,int n,int *a);
  8. int main()
  9. {
  10.     int a[] = {0,2,3,-7,6,4,-5};//数组脚标从1开始
  11.     for(int i=1; i<=6; i++)
  12.     {
  13.         cout<<a[i]<<” ”;
  14.     }
  16.     cout<<endl;
  17.     cout<<”数组a的最大连续子段和为:”<<MaxSum(3,6,a)<<endl;
  18.     }
  20. int MaxSum(int m,int n,int *a)
  21. {
  22.     if(n<m || m<1)
  23.         return 0;
  24.     int *b = new int[n+1];
  25.     int *c = new int[n+1];
  27.     b[0] = 0;//b数组记录第i行的最大i子段和
  28.     c[1] = 0;//c数组记录第i-1行的最大i-1子段和
  30.     for(int i=1; i<=m; i++)
  31.     {
  32.         b[i] = b[i-1] + a[i];
  33.         c[i-1] = b[i];
  34.         int max = b[i];
  36.         //n-m+i限制避免多余运算，当i=m时，j最大为n，可据此递推所有情形
  37.         for(int j=i+1; j<=i+n-m;j++)
  38.         {
  39.             b[j] = b[j-1]>c[j-1]?b[j-1]+a[j]:c[j-1]+a[j];
  40.             c[j-1] = max;//预先保存第j-1行的最大j-1子段和
  42.             if(max<b[j])
  43.             {
  44.                 max = b[j];
  45.             }
  46.         }
  47.         c[i+n-m] = max;
  48.     }
  50.     int sum = 0;
  51.     for(int j=m; j<=n; j++)
  52.     {
  53.         if(sum<b[j])
  54.         {
  55.             sum = b[j];
  56.         }
  57.     }
  58.     return sum;
  59. }

上述算法时间复杂度为O(m(n-m))，空间复杂度为O(n)。当m或n-m为常数时，时间复杂度和空间复杂度均为O(n)。