最长连续回文串（Longest Palindromic Substring）
给出一个字符串S，找到一个最长的连续回文串。
例如串 babcbabcbaccba 最长回文是:abcbabcba
算法首先将输入字符串S， 转换成一个特殊字符串T，转换的原则就是将S的开头结尾以及每两个相邻的字符之间加入一个特殊的字符，例如#
例如: S = “abaaba”, T = “#a#b#a#a#b#a#”.
为了找到最长的回文字串，例如我们当前考虑以Ti为回文串中间的元素，如果要找到最长回文字串，我们要从当前的Ti扩展使得 Ti-d … Ti+d 组成最长回文字串. 这里 d 其实和 以Ti为中心的回文串长度是一样的. 进一步解释就是说，因为我们这里插入了 # 符号，对于一个长度为偶数的回文串，他应该是以#做为中心的，然后向两边扩，对于长度是奇数的回文串，它应该是以一个普通字符作为中心的。通过使用#，我们将无论是奇数还是偶数的回文串，都变成了一个以Ti为中心，d为半径两个方向扩展的问题。并且d就是回文串的长度。
例如 #a#b#a#, P = 0103010, 对于b而言P的值是3，是最左边的#，也是延伸的最左边。这个值和当前的回文串是一致的。
如果我们求出所有的P值，那么显然我们要的回文串，就是以最大P值为中心的回文串。
T = # a # b # a # a # b # a #
P = 0 1 0 3 0 1 6 1 0 3 0 1 0
例如上面的例子，最长回文是 “abaaba”, P6 = 6.
根据观察发现，如果我们在一个位置例如 abaaba的中间位置，用一个竖线分开，两侧的P值是对称的。当然这个性质不是在任何时候都会成立，接下来就是分析如何利用这个性质，使得我们可以少算很多P的值。
下面的例子 S = “babcbabcbaccba” 存在更多的折叠回文字串。
C表示当前的回文中心，L和R处的线表示以C为中心可以到达的最左和最右位置，如果知道这些，我们如何可以更好的计算C后面的P[i].
假设我们当前计算的是 i = 13, 根据对称性，我们知道对称的那个下标 i’ = 9.
根据C对称的原则，我们很容易得到如下数据 P[ 12 ] = P[ 10 ] = 0, P[ 13 ] = P[ 9 ] = 1, P[ 14 ] = P[ 8 ] = 0).
Now we are at index i = 15, and its mirrored index around C is i’ = 7. Is P[ 15 ] = P[ 7 ] = 7?
当时当i = 15的时候，却只能得到回文 “a#b#c#b#a”, 长度是5， 而对称 i ‘ = 7 的长度是7.
如上图所示，如果以 i, i’ 为中心，画出对称的区域如图，其中以i‘ = 7 对称的区域是 实心绿色 + 虚绿色 和 左侧，虚绿色表示当前的对称长度已经超过之前的对称中心C。而之前的P对称性质成立的原因是 i 右侧剩余的长度 R – i 正好比 以 i‘ 为中心的回文小。
这个性质可以这样归纳，对于 i 而言，因为根据C对称的最右是R，所以i的右侧有 R – i 个元素是保证是 i’ 左侧是对称的。 而对于 i’ 而言他的P值，也就是回文串的长度，可能会比 R-i 要大。 如果大于 R – i, 对于i而言，我们只能暂时的先填写 P[i] = R – i, 然后依据回文的属性来扩充P[i] 的值； 如果P[i '] 小于R-i，那么说明在对称区间C内，i的回文串长度和i’ 是一样长的。例如我们的例子中 i = 15, 因为R = 20，所以i右侧 在对称区间剩余的是 R – 15 = 5, 而 i’ = 7 的长度是7. 说明 i’ 的回文长度已经超出对称区间。我们只能使得P[i] 赋值为5， 然后尝试扩充P[i].
if P[ i' ] ≤ R – i,
then P[ i ] ← P[ i' ]
else P[ i ] ≥R – i. (这里下一步操作是扩充 P[ i ].
扩充P[i] 之后，我们还要做一件事情是更新 R 和 C， 如果当前对称中心的最右延伸大于R，我们就更新C和R。在迭代的过程中，我们试探i的时候，如果P[i'] <= R – i, 那么只要做一件事情。 如果不成立我们对当前P[i] 做扩展，因为最大长度是n，扩展最多就做n次，所以最多做2*n。 所以最后算法复杂度是 O(n)
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package use.java;
/**
* @ClassName: LongestPalindrome
* @Description: 给出一个字符串S，找到一个最长的连续回文串。
* 例如串 babcbabcbaccba 最长回文是:abcbabcba
* @date 2014年2月18日 下午3:18:48
*/
public class LongestPalindrome {
/**
* @Title: preProcess
* @Description: Transform S into T.
* For example, S = “abba”, T = “^#a#b#b#a#$”.
* ^ and $ signs are sentinels appended to each end to avoid bounds checking
* @param s
* @return
*/
public String preProcess(String s) {
int n = s.length();
if (n == 0)
return “^$”;
String ret = “^”;
for (int i = 0; i < n; i++)
ret += “#” + s.substring(i, i + 1);
ret += “#$”;
return ret;
}
/**
* @Title: longestPalindrome
* @Description: TODO
* @param s
* @return
*/
public String longestPalindrome(String s) {
String T = preProcess(s);
int n = T.length();
int[] P = new int[n];
int C = 0, R = 0;
char[] ch = T.toCharArray();
for (int i = 1; i < n – 1; i++) {
int i_mirror = 2 * C – i; // equals to i’ = C – (i-C)
P[i] = (R > i) ? Math.min(R – i, P[i_mirror]) : 0;
// Attempt to expand palindrome centered at i
while (ch[i + 1 + P[i]] == ch[i - 1 - P[i]])
P[i]++;
// If palindrome centered at i expand past R,
// adjust center based on expanded palindrome.
if (i + P[i] > R) {
C = i;
R = i + P[i];
}
}
// Find the maximum element in P.
int maxLen = 0;
int centerIndex = 0;
for (int i = 1; i < n – 1; i++) {
if (P[i] > maxLen) {
maxLen = P[i];
centerIndex = i;
}
}
return s.substring((centerIndex – 1 – maxLen) / 2, (centerIndex – 1 – maxLen)
/ 2 + maxLen);
}
public static void main(String[] args) {
LongestPalindrome lp = new LongestPalindrome();
String s = “abbac”;
String ret = lp.preProcess(s);
System.out.println(ret);
String res = lp.longestPalindrome(s);
System.out.println(res);
}
}